要使函数y=1+2^x+4^xa,在(-无穷,1]上y>0恒成立

m=2^x,则0<m<=2
若a=0,y=m+1,0<m<=2,显然y>0成立

a不等于0
y=am^2+m+1=a(m+1/2a)^2-1/(4a)+1
对称轴m=-1/2a
若a>0,则开口向上，对称轴在定义域左边，所以y是增函数
则m=0时(实际取不到)y最小=0+0+1=1>0成立

若a<0
则开口向下，对称轴在y轴右边
则若对称轴在0和1之间，则m=2有最小值
即0<-1/2a<=1,-1<=1/2a<0,2a<=-1,a<=-1/2
m=2,y=4a+2+1>0,a>-3/4
所以-3/4<a<=-1/2

若对称轴在1和2之间，则m=0有最小值
即1<-1/2a<=2,-2<=1/2a<-1,-1<2a<=-1/2,-1/2<a<=-1/4
m=0,因为m取不到0，所以此时y可以>=0,y=1>=0成立
所以-1/2<a<=-1/4

综上
-3/4<a<=-1/4,a>=0

令u=2^x，则u的范围是(0,2].
原函数化为 y=1+u+au^2,视为关于u的二次函数
则极值点取在u=-1/(2a) ，极值是1-1/4a

分类讨论
1.如果a>0，则u=-1/(2a)<0. 函数y关于u的图像开头向上，所以y在（0，2]上是递增的，最小值在0点取得，即ymin=1.满足题目要求y>0恒成立。(实际上去不到0点，但是已经可以证明题目了。)
2.如果a<0，那么y的图像开口向下。
（1）如果u=-1/(2a)>2,即-1/4<a<0，那么y在（0，2]上是递增的，最小值在0点取得，同样ymin=1.满足题目要求。
(2)如果0<u=-1/(2a)<=2,即a<=-1/4,那么u可以取